Problema mbi Funksionet Kuadratike


Ky ёshtё njё instruksion mbi pёrdorimin e funksioneve kuadratike pёr tё zgjidhur problema. Zgjidhjet dhe shpjegimet janё tё detajuara.

Kujtesё
grafiku i njё funksioni kuadratik i formёs

f(x) = ax2 + bx + c

ka njё kulm nё pikёn (h , k) ku h dhe k jepen nga

h = -b/2a
dhe
k = c - b2/4a

gjithashtu, k = f(h).

Nёse a > 0, kulmi ёshtё njё pikё minimumi dhe vlera nё minimum e funksionit kuadratik f ёshtё baraz me k. Kjo vlerё minimale ndodhet nё x = h = -b/2a.

Nёse a < 0, kulmi ёshtё njё pikё maksimumi dhe vlera nё maksimum e funksionit kuadratik f ёsht baraz me k. Ky maksimum ndodhet nё x = h = -b/2a.

Shembull - Problem 1 : Fitimi i njё kompanie (nё mijёra dollarё) jepet nga:

P(x) = 5000 + 1000x - 5x2

ku x ёshtё sasia e shpenzimeve (nё mijёra dollarё) tё kompanisё pёr reklama.
  1. Gjeni vlerёn, x, pёr tё cilёn kompania maksimizon fitimin e saj.

  2. Gjeni fitimin maksimal Pmax.

Zgjidhja e Problemёs 1:

  1. Funksioni P qё jep fitimin ёshtё njё funksion kuadratik me koeficient kryesor a = -5. Ky funksion (fitimi) ka njё vlerё maksimum nё x = h = -b/2a
    x = h = -1000/2(-5) = 100

  2. Fitimi maksimal Pmax, kur x = 100 mijё shpenzime pёr rekamё, jepet nga vlera maksimale e funksionit P
    k = c - b2/4a

  3. Fitimi maksimal Pmax, kur x = 100 mijё shpenzime nё reklama, jepet nga P(h = 100)
    P(100) = 5000 + 1000(100) - 5(100)2 = 55000.

  4. Kur kompania shpenzon 100 mijё dollarё pёr reklama, fitimi ёshtё maksimum dhe baraz me 55000 dollarё.
  5. Grafiku i P(x) i shfaqur mё poshtё, vini re pikёn maksimum, kulmi, nё (100 , 55000).

    Graph of profit P(x).

Shembull - Problem 2 : Njё objekt hidhet vertikalisht lart me njё shpejtёsi fillestare Vo m/s. Distanca S(t), nё metra, mbi sipёrfaqen e tokёs jepet nga

S(t) = -16t2 + vot.

Gjeni vo pё tё cilёn arrihet lartёsia mё e madhe prej 300 m mbi sipёrfaqen e tokёs.

Zgjidhja e Problemёs 2:

  1. S(t) ёshtё njё funksion kuadratik, vlera maksimale e S(t) jepet nga
    k = c - b2/4a = 0 - (vo)2 / 4(-16)

  2. Kur kjo vlerё maksimale e S(t) duhet tё bёhet 300 m nё mёnyrё qё objekti tё arrijё njё lartёsi prej 300 m mbi sipёrfaqen e tokёs.
    - (vo)2 / 4(-16) = 300

  3. zgjidhim tani - (vo)2 / 4(-16) = 300 pёr vo
    vo = 64*300 = 80sqrt(3) m/s.

    4. Grafiku i S(t) pёr vo = 64*300 = 80sqrt(3) m/s tregohet mё poshtё.

    Graph of S(t).

Pёr mё shumё referenca dhe link-e pёr funksonet kuadratike shiko: